La somme des chiffres des nombres premiers est bien répartie
Par Benje le mardi, mai 11 2010, 09:40 - Nouvelles Scientifiques - Lien permanent
Source: CNRS
Il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la
somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels
elle est impaire. Cette hypothèse formulée en 1968 vient d'être
démontrée par des chercheurs de l'Institut de mathématiques de Luminy.
Un nombre premier est un nombre entier supérieur ou égal à 2 dont les
seuls diviseurs entiers sont 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7,
11,..., 1789,... sont des nombres premiers, alors que 9, divisible par
3, n'est pas un nombre premier.
De nombreux problèmes arithmétiques concernent les nombres premiers et
la plupart d'entre eux sont sans réponse, parfois depuis plusieurs
siècles. Par exemple, on sait depuis Euclide que la suite des nombres
premiers est infinie, mais on ne sait toujours pas s'il existe une
infinité de nombres premiers p tels que p+2 est aussi un nombre premier
(problème des nombres premiers jumeaux). De même on ne sait pas s'il
existe une infinité de nombres premiers dont la représentation décimale
n'utilise pas le chiffre 7.
Deux chercheurs de l'Institut de mathématiques de Luminy
(CNRS/Université de la Méditerranée) viennent de faire une percée
importante sur une conjecture formulée en 1968 par le mathématicien
russe Alexandre Gelfond concernant la somme des chiffres des nombres
premiers. Ils ont démontré en particulier qu'il y a en moyenne autant de
nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de
nombres premiers pour lesquels elle est impaire.
Les méthodes mises en œuvre pour obtenir ce résultat, issues de la
combinatoire, de la théorie analytique des nombres et de l'analyse harmonique, sont très
novatrices et devraient ouvrir la voie à la résolution d'autres
questions difficiles concernant la représentation de certaines suites de
nombres entiers.
En complément de leur intérêt théorique, ces questions sont directement
liées à la construction de suites de nombres pseudo-aléatoires et ont
des applications importantes en simulation numérique et en
cryptographie.